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Reihen und Summenformeln
In den Übungsblättern werden immer wieder Reihen benötigt. Dabei geht es zum einen darum, den Grenzwert dieser Reihen zu bestimmen, in anderen Fällen reicht es herauszufinden ob dieser Grenzwert existiert. Beides kann mit SageMath herausgefunden werden. Für einige Reihen gibt es aber auch Möglichkeiten dies ohne Rechner herauszufinden. Beispiele dafür sind die geometrische und harmonische Reihe.
Geometrische Reihe
Eine geometrische Reihe hat Reihen-Glieder der Form , wobei . Für die einzelnen Glieder, die Partialsummen, gilt und für den Grenzwert . Der Grenzwert existiert in diesem Fall.
Beispiel:
Mit Formel:
In SageMath: var('k'); sum((1/3)^k,k,0,infinity) >> 3/2
Harmonische Reihe
Eine harmonische Reihe hat Reihen-Glieder der Form . Bei dieser Reihe interessiert eher, ob der Grenzwert existiert und die Reihe so konvergiert oder ob sie divergiert. Die Konvergenz ist hier von a abhängig: für divergiert die Reihe, für konvergiert sie.
Indexverschiebung
Muss eine unendliche Summe berechnet werden, die nicht bei 0 oder 1, sondern z.B. bei 5 beginnt, so kann diese Summe mittels Indexverschiebung transformiert werden:
Beispiel: mit
Da noch immer ist, bleibt es unberührt von der Indexverschiebung, nur der Exponent und der Startindex der Summe werden transformiert. Im nächsten Schritt wird aus herausgezogen, wodurch ein von k abhängiger und ein unabhängiger Teil entstehen. Als unabhängiger Teil kann im Anschluss als Faktor vor die Summe gezogen werden. Im letzten Schritt kann dann die Formel zur Vereinfachung des Grenzwerts der geometrischen Reihe angewendet werden.
Letzte Änderung: 25.10.2017, 12:33 | 283 Worte