Beispiel 1

Im Verein „Wiener Freunde der Oper“ wurden folgende Daten über die durchschnittlichen Ausgaben pro Jahr der Mitglieder erhoben:

x(i) (Alter des Mitgliedes) = 51,27,60,70,35
y(i) (Ausgaben) = 430,100,260,400,200

-Berechne Maximum-Likelihood-Schätzwerte für die Parameter a, b und σ^2. (y = ax + b)

Sage:

x = [51,27,60,70,35]
y = [430,100,260,400,200]

n=len(x)
mx = mean(x)
my = mean(y)
print 'my=', my
dx = [(x[i]-mx)*1.0 for i in range (0,n)]
dy = [(y[i]-my)*1.0 for i in range (0,n)]
dxdy = [dx[i]*dy[i] for i in range (0,n)]
sdxdy = sum(dxdy)
dxdx = [dx[i]*dx[i] for i in range (0,n)]
sdxdx = sum(dxdx)
a = sdxdy/sdxdx
print 'a=', a
b = my-a*mx
yhat = [a*x[i]+b for i in range (0,n)]
e = [y[i]-yhat[i] for i in range (0,n)]
e2 = [e[i]*e[i] for i in range (0,n)]
vare = sum(e2)/(n-2)
print 'vare=', vare
print sqrt(vare)
print 'b=', b
print sum(e2)

points = zip(x,y)
P1 = scatter_plot(points)
var('z')
f = b+a*z
P2 = plot(f, (z,25, 100))
P1+P2

X = r(x)
Y = r(y)
fit = r.lm(Y.tilde(X))
print r.summary(fit)


Lösung: a = 6.16, b = -21.59




Beispiel 2 
(verwende die Daten aus Beispiel 1)

-Prüfe die Nullhypothese a = 0 (die erwarteten Durchschnittsausgaben der Mitglieder
 hängen nicht vom Alter ab) zum Niveau a) 80 % und b) 90 %.

sa2 = vare/sdxdx    
sa = sqrt(sa2)     
print sa

a)
ug = a-sa*r.qt(0.9,n-2)
og = a+sa*r.qt(0.9,n-2)
print 'ug=', ug
print 'og=', og

Lösung : H0 verwerfen.

b)
ug = a-sa*r.qt(0.95,n-2)
og = a+sa*r.qt(0.95,n-2)
print 'ug=', ug
print 'og=', og

conf = r.confint(fit, level= 0.95)
print conf

Lösung : H0 behalten.





Beispiel 3
(verwende die Daten aus Beispiel 1)

-Prüfe die Nullhypothese b = 0 (die erwarteten Durchschnittsausgaben sind proportional zum Alter der    Mitglieder) zum Niveau 80 %.

x2 = [x[i]*x[i] for i in range (0,n)]
sx2 = sum(x2)
sb2 = sx2/(n*sum(dxdx))*vare   
sb = sqrt(sb2)
print sb2
print sb
ug = b - sb*r.qt(0.9,n-2)
og = b + sb*r.qt(0.9,n-2)
print 'ug=', ug
print 'og=', og


Lösung: Ho behalten.


Beispiel 4

-Teste mit Hilfe eines F-Tests (Signifikanzniveau = 0.10) die Hypothese, dass in der Grundgesamtheit kein Zusammenhang zwischen Ausgaben und Alter besteht.

Sage:

dydy = [dy[i]*dy[i] for i in range (0,n)]
sdydy = sum(dydy)
print sdydy
print sdxdx
print sdydy
r = sdxdy/(sqrt(sdxdx)*sqrt(sdydy))
print  'r= ', r
print r*r

F=r^2/((1-r^2)/(n-2))
print F

Fkrit = r.qf(0.9,1,n-2)






Beispiel 5

100 Messungen von Mitgliedern des Vereins „Wiener Freunde der Oper“ lieferten folgende 
Kennzahlen

mean(x) = 45
mean(y) = 150
var(x)*100 = 25000
var(y)*100 = 750000
cov(x)*100 = 100000

-Gebe ein Prognoseintervall für die durchschnittlichen Ausgaben für das Alter 50 an.

Sage:

n=100.0
mx = 45.0
my=  150.0
ssx = 25000.0
ssy = 750000.0 
ssxy = 100000.0
a = ssxy/ssx
print 'a=', a
b = -a*mx+my
print 'b=', b
r = ssxy/sqrt(ssx)/sqrt(ssy)*1.0
print 'r=', r
print 'r^2=', r^2

e2 = ssy*(-r^2+1)
print 'e2=', e2     

vare = e2/(n-2)
print 'vare=', vare  


Prognoseintervall

x0 = 50
y0 = b + a*x0
print 'y0=', y0
sigma = sqrt(vare)*sqrt(1+1/n + (x0-mx)^2/ssx)   
ug = y0 - sigma*r.qt(0.95,n-2)  
og = y0 + sigma*r.qt(0.95,n-2)
print 'ug=', ug
print 'og=', og





Beispiel 6

Es sei nachstehend X1 das Alter der Mitglieder im Verein „Freunde des Naturhistorischen Museums“, X2 die Dauer der Mitgliedschaft und Y die durchschnittlichen Ausgaben der Mitglieder. 
Wir möchten die Regression von Y auf X1 und X2 ermitteln, dh.: y = a + b1x1 + b2x2.



a) Man schätze a, b1, b2.

Sage:

k = [20,30,47,52,29]   #k steht für x1
l = [10,10,8,11,13]    #l steht für x2
m = [90,60,58,80,101]  #m steht für y
n=len(k)
nk = 3  
y = vector(m)
print y
e = [1 for i in range (0,n)]
Xt = matrix((e,k,l))
X = transpose(Xt)
print X

b= ((Xt*X).inverse())*Xt*z
print 'b=', b
print b*1.0

Lösung: a = 7.98, b1 = -0.32, b2 = 7.81


b) Man schätze σ^2.

yhat = X*b
eps = y-yhat    
print 'e=', eps
eps2 = [eps[i]^2 for i in range (0,n)]  
var = sum(eps2)/(n-3)*1.0


Lösung: 196.45


c) Man schätze Var(b1) und Var(b2).

Covb = var*((Xt*X).inverse())
print 'Covb=', Covb  
Varb = [Covb[i,i] for i in range (0,nk)]  
sdb = [sqrt(Varb[i]) for i in range (0,nk)] 
print 'Varb=', Varb
print 'sdb=', sdb

Lösung: Var(b1) = 0.295, Var(b2) = 16.046