In den Übungsblättern werden immer wieder Reihen benötigt. Dabei geht es zum einen darum, den Grenzwert dieser Reihen zu bestimmen, in anderen Fällen reicht es herauszufinden ob dieser Grenzwert existiert. Beides kann mit SageMath herausgefunden werden. Für einige Reihen gibt es aber auch Möglichkeiten dies ohne Rechner herauszufinden. Beispiele dafür sind die geometrische und harmonische Reihe. 

 

Eine geometrische Reihe hat Reihen-Glieder der Form $\sum_{k=0}^n q^k$, wobei $|q|<1$. Für die einzelnen Glieder, die Partialsummen, gilt $\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ und für den Grenzwert $\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$. Der Grenzwert existiert in diesem Fall. 

 

Beispiel: $q=\frac{1}{3}$ 

Mit Formel: $\sum_{k=0}^\infty q^k=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3}^k=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$ 

In SageMath: var('k'); sum((1/3)^k,k,0,infinity) >> 3/2 

 

Eine harmonische Reihe hat Reihen-Glieder der Form $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^a}$. Bei dieser Reihe interessiert eher, ob der Grenzwert $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^a}$ existiert und die Reihe so konvergiert oder ob sie divergiert. Die Konvergenz ist hier von a abhängig: für $a \leq 1$ divergiert die Reihe, für $a > 1$ konvergiert sie. 

 

Muss eine unendliche Summe berechnet werden, die nicht bei 0 oder 1, sondern z.B. bei 5 beginnt, so kann diese Summe mittels Indexverschiebung transformiert werden: $\sum_{k=z}^n a_k=\sum_{k=z-z}^{n-z} a_{k+z}=\sum_{k=0}^{n-z} a_{k+z}$ 

 

Beispiel: $\sum_{k=5}^\infty q^k$ mit $|q|<1$ 

$\sum_{k=5}^\infty q^k=\sum_{k=5-5}^\infty q^{k+5}=\sum_{k=0}^\infty q^{k} q^5=q^5 \sum_{k=0}^\infty q^k= q^5 \frac{1}{1-q}$ 

Da $\infty-5$ noch immer $\infty$ ist, bleibt es unberührt von der Indexverschiebung, nur der Exponent und der Startindex der Summe werden transformiert. Im nächsten Schritt wird $q^5$ aus $q^{k+5}$ herausgezogen, wodurch ein von k abhängiger und ein unabhängiger Teil entstehen. Als unabhängiger Teil kann $q^5$ im Anschluss als Faktor vor die Summe gezogen werden. Im letzten Schritt kann dann die Formel zur Vereinfachung des Grenzwerts der geometrischen Reihe angewendet werden.